Question

（1）设{a_n}是等差数列，求证：以b_n=

a1+a2+…+an

n

（n∈N^*）为通项公式的数列{b_n}是等差数列．
（2）已知

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，求证

b+c

a

，

a+c

b

，

a+b

c

也成等差数列．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是等差数列，可得a_n+1-a_n=d常数，a₁+a₂+…+a_n=

n(a1+an)

2

．
于是bn=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，只要证明b_n+1-b_n为常数即可．
（2）由

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，可得

2

b

=

1

a

+

1

c

，即b=

2ac

a+c

．只要证明

2(a+c)

b

-

b+c

a

-

a+b

c

=0即可．

解答：证明：（1）∵{a_n}是等差数列，∴a_n+1-a_n=d常数，a₁+a₂+…+a_n=

n(a1+an)

2

．
∵bn=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，
∴b_n+1-b_n=

a1+an+1

2

-

a1+an

2

=

an+1-an

2

=

1

2

d为常数，
∴数列{b_n}是等差数列．
（2）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，∴b=

2ac

a+c

．
∴

2(a+c)

b

-

b+c

a

-

a+b

c

=

(a+c)2

ac

-

b(a+c)+a2+c2

ac

=

(a+c)2-(2ac+a2+c2)

ac

=0．
∴

2(a+c)

b

=

b+c

a

+

a+b

c

．
∴

b+c

a

，

a+c

b

，

a+b

c

也成等差数列．

点评：熟练掌握等差数列定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键．