Question

如图,设有双曲线,F₁,F₂是其两个焦点,点M在双曲线上．
(1)若∠F₁MF₂=90°,求△F₁MF₂的面积;
(2)若∠F₁MF₂=60°,△F₁MF₂的面积是多少?若∠F₁MF₂=120°,△F₁MF₂的面积又是多少?
(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F₁MF₂的变化,△F₁MF₂的面积将怎样变化吗?试证明你的结论．

Answer 1

(1) ;  (2) , ; (3) θ增大时面积变小，证明过程见解析．

试题分析：(1) 设,, 直角三角形△F₁MF₂中，利用双曲线定义得,平方得，求得面积；(2) △F₁MF₂ 中由余弦定理可得，|MF₁|·|MF₂|，由面积公式可得面积；(3) 由双曲线定义与余弦定理，可得面积与θ的关系，所以θ增大时面积变小．
解：(1)由双曲线方程知a=2,b=3,,
设, ()．
由双曲线定义,有,两边平方得,
,
即,
也即,求得．             4分
(2)若∠F₁MF₂=60°,在△MF₁F₂中,
由余弦定理得,
,所以．
求得．
同理可求得若∠F₁MF₂=120°, ．         8分
(3)由以上结果猜想,随着∠F₁MF₂的增大,△F₁MF₂的面积将减小．
证明如下:
令∠F₁MF₂=θ,则．
由双曲线定义及余弦定理,有

②-①得,
所以,
因为0<θ<π,,
在内,是增函数，
因此当θ增大时,  将减小．                 12分