Question

设圆C与两圆(x＋)²＋y²＝4，(x－)²＋y²＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

（1）－y²＝1
（2）(，－)

(1)依题意得两圆的圆心分别为F₁(－，0)，F₂(，0)，从而可得|CF₁|＋2＝|CF₂|－2或|CF₂|＋2＝|CF₁|－2，
所以||CF₂|－|CF₁||＝4＝2a<|F₁F₂|＝2＝2c，
所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为2的双曲线，
因此a＝2，c＝，b²＝c²－a²＝1，
故C的圆心轨迹L的方程为－y²＝1．
(2)过点M，F的直线l的方程为y＝－2(x－)，将其代入－y²＝1中，解得x₁＝，x₂＝，故直线l与L的交点为T₁(，－)，T₂(，)，
因为T₁在线段MF外，T₂在线段MF上，
所以||MT₁|－|FT₁||＝|MF|＝2，||MT₂|－|FT₂||<|MF|＝2．
若点P不在MF上，则||MP|－|FP||<|MF|＝2．
综上所述，||MP|－|FP||只在点T₁处取得最大值，
即||MP|－|FP||的最大值为2，
此时点P的坐标为(，－)．