Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，离心率e=

5

4

，右准线L₂与一条渐近线L交于点P，F为右焦点，|PF|=3．
（1）求双曲线的方程；
（2）求倾斜角为

3π

4

，|AB|=

48

7

的弦AB所在直线方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意不妨取其中一条渐近线方程为：y=

b

a

x以及e=

5

4

可求出点P为（

4

5

a，

4

5

b）再根据两点间的距离公式代入|PF|=3结合c²=a²+b²即可求出a，b就可写出双曲线的方程了．
（2）根据题意有倾斜角为

3π

4

，|AB|=

48

7

因此可将直线方程设为斜截式再与双曲线方程联立求出两根之和两根之积后代入弦长公式即可求出截距也就写出直线方程了．

解答：解：∵离心率e=

5

4

∴

c

a

=

5

4

∴c=

5

4

a即F（

5a

4

，0）
又∵右准线L₂：x=

a2

c

，不妨取其中一条渐近线方程为：y=

b

a

x，
∴右准线L₂与一条渐近线L交于点P为（

4

5

a，

4

5

b）
∵|PF|=3
∴由两点间的距离公式可得

( 4 5 a- 5 4 b)2+( 4 5 b)2

=3①
又∵c²=a²+b²②，
∴由①②可知25a²=400
∴a²=16，b²=9
∴所求双曲线的方程为：

x2

16

- 

y2

9

= 1
（2）由题意可设弦AB所在直线方程为：y=-x+b且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
令

y=-x+b x2 16 - y2 9 =1

则7x²-32bx+16b²+144=0故x1+x2=

32b

7

，x1x2=

16b2+144

7

∴|AB|=

48

7

=

(x1+x2)2-4x1x2

∴b²=11
∵△=（32b）²-4×7×（16b²+144）＞0
∴b²＞7
∴b=

+

.

11

∴弦AB所在直线方程为：y=-x+

+

.

11

．

点评：本题主要对直线与圆锥曲线的综合问题的考查．考查内容涉及到渐近线，两点间的距离公式，直线方程的设法，弦长公式．解题的关键是要利用双曲线中隐含的条件c²=a²+b²和求出b²=11后要验证是否满足△＞0！