题目内容

设定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的实数x，y∈R，有f(x+y)＝f(x)·f(y)；②当x＞0时，f(x)＞1．数列{an}满足a1＝f(0)，且f()＝(n∈N*)．(1)求f(0)，判断并证明函数f(x)的单调性；

(2)求数列{an}的通项an的表达式；

(3)令bn是最接近，

设Tn＝…+．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)令y＝0，x＝1得:f(1)＝f(1)·f(0)f(1)(1－f(0))＝0，

　　∵f(1)≠0，∴f(0)＝1

　　∵x0时，f(x)＞1，而由点①可知:1＝f(0)＝f(－x+x)＝f(－x)·f(x)，∴f(x)＝

　　∴x＜0时，0＜f(x)＜1，∴x∈R时，0＜f(x)

　　设x1＜x2，由f(x2)＝f[x1+(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)，而x1－x2＞0，∴f(x2－x1)＞1

　　∴f(x2)＝f[x1+(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)＞f(x1)，∴f(x)在R上是单调递增函数.

　　(Ⅱ)因为数列{an}满足a1＝f(0)＝1，且f()＝

　　由(Ⅰ)可得f()＝f(an+1)，即＝an+1，∴－an＝1(n∈N*)，∴an＝n(n∈N*)

　　(Ⅲ)令bn＝k(k∈N*)是最接近的正整数，

　　则k－

　　由于k，n都是正整数，∴k2－k+1≤n≤k2+k

　　所以满足bn＝k的正整数n有k2+k－(k2－k+1)+1＝2k个；312＜1000＜322，322－32+1＝993

　　T1000＝＝

　　＝＝64+


练习册系列答案
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设定义在R上的函数f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则x12+x22+x32=
 
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π
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6
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π
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，
π
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π
2
，
π
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πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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