Question

（2013•顺义区二模）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，(x-

π

2

)f′(x)＜0．则函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为

6

．

Answer 1

分析：根据x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，(x-

π

2

)f′(x)＜0，确定函数的单调性，再利用函数的图形，即可得到结论．

解答：解：∵x∈（0，π） 且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＜0
∴x∈（0，

π

2

），函数单调增，x∈（

π

2

，π），函数单调减．
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=cosx和y=f（x）草图如下，

由图知y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为6个．
故答案为：6．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．