Question

设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（　　）

• A、m=-

  1

  2

  ，n=6
• B、m=1-e，n=5
• C、m=-

  1

  2

  ，n=3
• D、m=e-1，n=4

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x）⇒f（x+2）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数，依题意知，f（0+1）+f（0）=1，可求得m的值；当0≤x≤1时，利用导数法可知，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上只有一个零点；同理可求得当x∈[-1，0]时，f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上只有一个零点；利用函数的周期性即可求得f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的函数，
又当x∈[0，1]时，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

+m，
∴f（0）=1-e+m，f（1）=e+m，又f（0+1）=-f（0），
即f（0+1）+f（0）=1，
∴2m+1=0，
∴m=-

1

2

，可排除B、D；
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

，
∵当0≤x≤1时，f′（x）=e^x+

π

2

sin

πx

2

＞0，
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上单调递增，
又f（0）=1-e-

1

2

＜0，f（1）=e-

1

2

＞0，
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上只有一个零点；①
当x∈[-1，0]时，x+1∈[0，1]，f（x+1）=e^x+1-e•cos

π(x+1)

2

-

1

2

，
∴f（x）=-f（x+1）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

（-1≤x≤0），
∵当-1≤x≤0时，f′（x）=-e^x+1-

π

2

cos

πx

2

＜0，
∴f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上单调递减，
又f（-1）=-1+1+

1

2

＞0，f（0）=-e+

1

2

＜0，
∴f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上只有一个零点；②
由①②知，函数f（x）在一个周期内共有2个零点；
∴f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为3个，（由2为其周期知，在[2013，2014]上一个，在[2014，2015]上一个，在[2015，2016]上一个），即n=3．
故选：C．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查分段函数解析式的确定，考查通过导数判断函数的单调性与零点个数，是难点，考查综合分析与运算能力，属于难题．