Question

设定义在R上的函数f（x）满足f（x+π）=f（x-π），f（

π

2

-x）=f（

π

2

+x），当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，0＜f（x）＜1；当x∈(-

π

2

，

π

2

)且x≠0时，x•f′（x）＜0，则y=f（x）与y=cosx的图象在[-2π，2π]上的交点个数是（　　）

Answer 1

分析：确定函数f（x）的图象及性质，利用数形结合的方法，即可求得结论．

解答：解：∵f（x+π）=f（x-π），∴f（x+2π）=f（x），∴函数的周期为2π
∵f（

π

2

-x）=f（

π

2

+x），∴函数关于直线x=

π

2

对称
∵当x∈(-

π

2

，

π

2

)且x≠0时，x•f′（x）＜0，
∴x∈[0，

π

2

）时，f（x）为单调减函数；x∈（-

π

2

，0）时，f（x）为单调增函数，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]时，0＜f（x）＜1，
∴y=f（x）与y=cosx的图象在[-2π，2π]上的图象如图所示

所以y=f（x）与y=cosx的图象在[-2π，2π]上的交点个数是4个
故选C．

点评：本题考查函数与方程思想，考查数形结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．