Question

设定义在R上的函数f（x）=

1 x-2 (x＞2) 1 2-x (x＜2) 1 (x=2)

，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则x₁²+x₂²+x₃²=

 

．

Answer 1

分析：题中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有3个不同实数解，
故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．故关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解，
即解分别是1，2，3．从而问题解决．

解答：解：作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．
故关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解，
即解分别是1，2，3．
故x₁²+x₂²+x₃²=1²+2²+3²=14．
故填：14．

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．