Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）存在两个零点，，且，，详见解析；的最小值为3

【解析】

（1）函数求导，根据二次函数的性质分 ，三种情况分类讨论求解..

（2）当时，，当时，单调递增，，，则，故不存在零点；然后从的定义域入手，分，，，四种情况分类讨论求解.

（1）的定义域为，

，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，，所以在上单调递增；

当时，令，得，（舍）.

当时，，当，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，

当时，单调递增，，，则，故不存在零点；

当时，，在上单调递减，

所以，，

所以，单调递增，

又，，

所以存在唯一，使得.

当时，，，

所以单调递减，

又，，

所以存在，使得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又，，

因此，在上恒成立，故不存在零点.

当时，，所以单调递减，

因为，所以，单调递减，

又，，

所以存在唯一，使得.

当时，，故不存在零点.

综上，存在两个零点，，且，，

因此的最小值为3.