Question

已知数列{a_n}满足8a_n+1=a_n²+m（n，m∈N^*），且a₁=1．
（1）求证：当m=12时，1≤a_n＜a_n+1＜2；
（2）若a_n＜4对任意的n≥1（n∈N）恒成立，求m的最大值．

Answer 1

证明：（1）①当n=1时，a₁=1，又8a₂=12+a₁²，a2=

13

8

，
∴1=a₁＜a₂＜2．
②假设n=k时，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，
当n=k+1时，有8a_k+2=12+a_k+1²＜12+2²=16，
∴a_k+2＜2成立，
由假设a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，
∴a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，
∴1≤a_k+1＜a_k+2＜2．
故由①，②知，对任意n∈N^*都有1≤a_n＜a_n+1＜2成立．
（2）由于an+1-an=

m

8

+

1

8

(

a

2n

-8an)=

1

8

(an-4)2+

m-16

8

≥

m-16

8

，an≥a1+(n-1)

m-16

8

=1+

m-16

8

(n-1)，
①当m＞16时，显然不可能使a_n＜4对任意n∈N^*成立，
②当m≤16时，a_n＜4对任意n∈N^*有可能成立，
当m=16时，a₁＜4，
假设a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．
所以m=16时，对任意n∈N^*都有a_n＜4成立，
所以m≤16时，a_n＜4，
故m的最大值是16．