Question

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

 (θ为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角α=

π

3

．
（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．
（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1，消去参数θ，求得C的普通方程；再根据直线经过点P（2，2），倾斜角
α=

π

3

，求出直线l的参数方程．
（2）把l的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得 t₁•t₂=-8，再由直线参数方程中参数的几何意义
求得|PA|•|PB|的值．

解答：解：（1）∵C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

 (θ为参数），利用sin²θ+cos²θ=1，消去参数可得 x²+y²=16．
由于l经过点P（2，2），倾斜角α=

π

3

，可得直线l的参数方程 

x=2+tcos π 3 y=2+tsin π 3

．
（2）把l的参数方程

x=2+tcos π 3 y=2+tsin π 3

 代入圆的方程x²+y²=16 可得
t²+2（

3

+1）t-8=0，∴t₁•t₂=-8，∴|PA|•|PB|=8．

点评：本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．