Question

已知集合A={x|ax²+2x+1=0，x∈R}，a为实数．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）解集是空集，即方程无解，所以判别式小于零；
（2）分a=0与a≠0两种情况讨论；
（3）可考虑研究有两个元素的情况，求其补集即可．

解答： 解（1）若A=Φ，则只需ax²+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需△=4-4a＜0，即a＞1即可．
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得x=-

1

2

；当a≠0时，只需△=4-4a=0，即a=1，故所求a的值为0或1；
（3）综合（1）（2）可知，A中至多有一个元素时，a的值为0或a≥1．

点评：本题以集合为载体，考查了一元二次方程的解得个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论．