Question

若关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）=ax³+（m+

1

2

）x²-cx在区间（t，3）上总不是单调函数，m的取什值范围是（　　）

• A、-

  14

  3

  ＜m＜-3
• B、-3＜m＜-1
• C、-

  14

  3

  ＜m＜-1
• D、-3＜m＜0

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数单调性的性质

专题：转化思想,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：先由根与系数的关系求出a、c的值，再求出f（x）的导数f′（x），利用f′（x）在（2，3）上有零点，f′（2）f′（3）＜0，求出m的取值范围．

解答： 解：∵关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴

-a=-2+1=-1 -c=-2×1=-2

，
解得a=1，c=2；
∴f（x）=ax³+（m+

1

2

）x²-cx=x³+（m+

1

2

）x²-2x，
求导得f′（x）=3x²+（2m+1）x-2；
又∵对于任意的t∈[1，2]，f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，
∴f′（x）在（2，3）上有零点，
∴f′（2）f′（3）＜0，
即[10+2（2m+1）][25+3（2m+1）]＜0，
解得-

14

3

＜m＜-3，
∴m的取什值范围是-

14

3

＜m＜-3．
故选：A．

点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了导数的应用以及转化思想的应用问题，是综合性题目．