Question

11．已知函数f（x）=x²-ax+2a-3
（1）若函数g（x）=f（6^x）在（-∞，1）有两个不相等的零点，求a的取值范围；
（2）若a=2，且存在实数t，当x∈[1，m]（m＞1）时，f（x+t）≤4x恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）令t=6^x，则f（t）=0在（0，6）上有两个不相等的零点．
（2）由当x∈[1，m]时，f（x+t）≤4x恒成立即设g（x）=f（x+t）-4x≤0恒成立，即g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范围，讨论m的取值即可得到m的最大值．

解答 解：（1）令t=6^x，∵x∈（-∞，1），∴t∈（0，6），则f（t）=t²-at+2a-3=（t-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a-3在（0，6）上有两个不相等的零点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{4}+2a-3＜0}\\{2a-3＞0}\\{33-4a＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{2}$＜a＜2或6＜a＜$\frac{33}{4}$．
∴a的取值范围是（$\frac{3}{2}$，2）∪（6，$\frac{33}{4}$）．
（2）a=2时，f（x）=x²-2x+1，
令g（x）=f（x+t）-4x=x²+2tx-6x+t²-2t+1．
则x²+2tx-6x+t²-2t+1≤0在[1，m]上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（m）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤t≤2}\\{{m}^{2}+（2t-6）m+（t-1）^{2}≤0}\end{array}\right.$．
当t=-2时，m²-10m+9≤0，解得1≤m≤9，
当t=2时，m²-2m+1≤0，解得m=1．
综上，m的最大值是9．

点评 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力．灵活运用二次函数求最值的方法的能力．