Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）•f（x）=1，当x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（-x+3），则f（2013）=

1

2

．

Answer 1

分析：根据f（x+2）•f（x）=1，可以确定出函数f（x）的周期，再利用周期将2013转化到[-2，0）内，再利用x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（-x+3），代入即可求得f（2013）的值．

解答：解：∵f（x+2）•f（x）=1，
∴f（x+2）=

1

f(x)

，
将x代换为x+2，则有f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），
∴f（x）为周期函数，周期为4，
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵f（x+2）=

1

f(x)

，
令x=-1，则f（1）=

1

f(-1)

，
∵当x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（-x+3），
∴f（-1）=log₂（1+3）=log₂4=2，
∴f（1）=

1

f(-1)

=

1

2

，
∴f（1）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数的求值问题．主要考查了函数的性质的应用，要能够根据所给的恒等式求出周期，解题的关键是利用周期把所求的函数值转化到已知区间上．本题还涉及了对数的运算，考查了运算化简的能力．属于中档题．