Question

双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂离心率为e．过F₂的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e²的值是（ ）
A．1+2
B．3+2
C．4-2
D．5-2

Answer 1

【答案】分析：设|AF₁|=|AB|=m，计算出|AF₂|=（1-）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e²的值．
解答：解：设|AF₁|=|AB|=m，则|BF₁|=m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+m-2a=m，
∴4a=m，∴|AF₂|=（1-）m，
∵△AF₁F₂为Rt三角形，∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（-）m²，
∵4a=m
∴4c²=（-）×8a²，
∴e²=5-2
故选D．
点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF₂|，从而利用勾股定理求解．