题目内容
设函数f(x)=
x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，且f（x）的图象在点p（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x1，x2∈[-1，1]时，求证|f(x1)-f(x2)|≤
．
| a |
| 3 |
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x1，x2∈[-1，1]时，求证|f(x1)-f(x2)|≤
| 44 |
| 3 |
分析：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（-x）=-f（x）从而可求b=0，d=0；利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入函数中确定出解析式，当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，从而f（x）在[-1，1]上为减函数，进而可得结论．
（2）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入函数中确定出解析式，当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，从而f（x）在[-1，1]上为减函数，进而可得结论．
解答：解：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（-x）=-f（x）
∴-
x3+bx2-4cx+d=-
x3-bx2-4cx-d，∴b=0，d=0．
∴f(x)=
x3+4cx，∴f'（x）=ax2+4c．
∴
，即
．∴a=2，c=-2．
（2）f(x)=
x3-8x，f/(x)=2x2-8，当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上为减函数，若x1，x2∈[-1，1]时，
|f(x1)-f(x2)|≤|f(-1)-f(1)|=
．
∴-
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
∴f(x)=
| a |
| 3 |
∴
|
|
（2）f(x)=
| 2 |
| 3 |
∴f（x）在[-1，1]上为减函数，若x1，x2∈[-1，1]时，
|f(x1)-f(x2)|≤|f(-1)-f(1)|=
| 44 |
| 3 |
点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查利用导数确定函数的单调性，解题的关键是利用单调性确定函数的最值．
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