Question

【题目】已知函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）求证：；

（3）求证：有且仅有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理可得切线方程为；

（2）根据图像与切线关系，先证，再证，通过构造函数，，用导数法求出即可；

（3）对再求导，可得在上单调递增，再由零点存在性定理，可得存在唯一的，使得，进而求出的单调区间，再由，即可证明结论.

（1），，，

故在处的切线方程为；

（2）先证.令，

，设

，故在上单调递增，

因为，故在上单调递减，在上单调递增，

为的极小值也是最小值，

故，故成立；

再证.

令，，

令得，故在上单调递减，

在上单调递增，是的极小值也是最小值，

故，故成立.

综上知成立.

（3），

设

，

故在上单调递增，

因，，

故根据函数零点存在性定理知存在唯一的，使得，

故在上单调递减，在上单调递增.

因为，故在上存在一个零点0；且

又因为，

故存在唯一使得，

因此有且仅有两个零点.