Question

【题目】已知点为圆心的圆与轴交于与轴交与，其中为原点.

（1）求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】试题分析：（1）求出半径，写出圆的方程,再解出的坐标,利用直角三角形面积公式用表示出面积，消去即可；(2)由,可得垂直平分线段,求出的斜率，可得出的方程，解出的值，直线与圆交于点，判断是否符合要求，即可得圆的方程.

试题解析：∵圆C过原点O，∴r2＝t2＋． 设圆C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t．∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．

(2)解　∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN．∵kMN＝－2，∴kOC＝．

∴直线OC的方程是y＝x．∴＝t．解得t＝2或t＝－2．

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝，

圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，

此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．