Question

【题目】已知函数 .
（1）若 ，求函数 的极小值；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）若在区间 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围，（ ）

Answer 1

【答案】
（1）解： 的定义域为 ．

当 时， ， ．

由 ，解得 .

当 时， ， 单调递减；

当 时， ， 单调递增；

所以当 时，函数 取得极小值，极小值为

（2）解： ，其定义域为 ．

又 ．

①当 ，即 时，在 上 ，所以，函数 在 上单调递增.

②当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，

所以 在 上单调递减，在 上单调递增；

综上所述：当 时， 的递减区间为 ；递增区间为 ．

当 时， 只有递增区间为 ．

（3）解：若在 上存在一点 ，使得 成立，即在 上存在一点 ，使得 ．

则函数 在 上的最小值小于零．

①当 ，即 时，由（2）可知 在 上单调递减．

故 在 上的最小值为 ，由 ，可得 ．

因为 ．所以 ；

②当 ，即 时，由（2）可知 在 上单调递增．

故 在 上最小值为 ，由 ，

可得 （满足 ）；

③当 ，即 时，由（2）可知可得 在 上最小值为

．

因为 ，所以， ．

，即 不满足题意，舍去．

综上所述得 ，或 ．

实数 的取值范围为 ．

【解析】（1）先求出函数的定义域，求导；（2）利用导数h（x）讨论h（x）的单调性；（3）若在 [ 1 , e ] 上存在一点 x 0 ，使得f（x0）g（x0） 成立，即在 [ 1 , e ] 上存在一点 x0，使得 h（x0）< 0，根据（2）求出h（x）的最小值，并使h（x）的最小值小于零.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．