Question

17．若 实数x、y满足x²+2xy+y²+x²y²=1，则x-y的最大值为2．

Answer 1

分析 由x²+2xy+y²+x²y²=1，变形为（x+y）²+（xy）²=1．可设x+y=cosθ，xy=sinθ，θ∈[0，2π），利用三角函数的有界限求解最大值即可．

解答 解：由x²+2xy+y²+x²y²=1，变形为（x+y）²+（xy）²=1．
可设x+y=cosθ，xy=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴（x-y）²=（x+y）²-4xy=cos²θ-4sinθ=1-sin²θ-4sinθ=-（sinθ+2）²+5≤4，
∴x-y≤2，
因此x-y的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了不等式的解法和三角函数的有界限求解最值的运用．属于中档题．