Question

7．设椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
（1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为$-\frac{1}{2}$，是否存在动点P（x₀，y₀），若$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，有$x_0^2+2y_0^2$为定值．

Answer 1

分析 （1）易得a=2．由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，1），即$\frac{c^2}{4}+\frac{1}{b^2}=1$．
    c²=4-b²，解得b²=2，即可得  椭圆方程．
（2）存在这样的点P（x₀，y₀）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由${k_{OM}}{k_{ON}}=\frac{y_1}{x_1}\frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{2}$，得 x₁x₂+2y₁y₂=0
 由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}={x_1}+2{x_2}}\\{{y_0}={y_1}+2{y_2}}\end{array}}\right.$，可得$x_0^2+2y_0^2={（{x_1}+2{x_2}）^2}+{（{y_1}+2{y_2}）^2}$=$（x_1^2+2y_1^2）+4（x_2^2+2y_2^2）+4（{x_1}{x_2}+2{y_1}{y_2}）$=4+4×4+0=20．

解答 解：（1）因为2a=4，所以，a=2．
∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，1），即$\frac{c^2}{4}+\frac{1}{b^2}=1$．
c²=4-b²，解得b²=2．
椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）存在这样的点P（x₀，y₀）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${k_{OM}}{k_{ON}}=\frac{y_1}{x_1}\frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{2}$，化简为 x₁x₂+2y₁y₂=0
∵M，N是椭圆C上的点，∴$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{2}=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{2}=1$，
由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}={x_1}+2{x_2}}\\{{y_0}={y_1}+2{y_2}}\end{array}}\right.$
所以$x_0^2+2y_0^2={（{x_1}+2{x_2}）^2}+{（{y_1}+2{y_2}）^2}$=$（x_1^2+2y_1^2）+4（x_2^2+2y_2^2）+4（{x_1}{x_2}+2{y_1}{y_2}）$=4+4×4+0=20．
即存在这样的点P（x₀，y₀）．

点评 本题考查了椭圆的方程、性质，存在问题，考查了转化思想，运算能力，属于中档题．