Question

16．设不等式$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 原题即a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$对一切x＞0，y＞0恒成立．设A=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，可得：A²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2，即可得出．

解答 解：原题即a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$对一切x＞0，y＞0恒成立．
设A=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，
A²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2，
当x=y时等号成立，∵A＞0，
∴0＜A≤$\sqrt{2}$．即A有最大值$\sqrt{2}$．
∴当a≥$\sqrt{2}$时，$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$对一切x＞0，y＞0成立．
∴a的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．