Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数存在两个极值点， ，且，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）．（2）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的定义域与导函数，然后结合判别式判断导函数的符号，得到函数的单调性，从而求得的取值范围；（Ⅱ）首先将问题转化为有两个不等的实根， ，由此得到的范围，从而得到， 的范围，然后根据的表达式构造新函数，由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，

由题意，

．

①若，即，则恒成立，

则在上为单调减函数；

②若，即，方程的两根为， ，当时， ，所以函数单调递减，当时， ，所以函数单调递增，不符合题意．

综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为．

（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，

即在有两个不等的实根， ，

于是， 且满足， ，

，

同理可得．

，

令， ．

， ，

∵，∴，

又时， ，∴，则在上单调递增，

所以，即，得证．