Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA₁、AB的中点．
（Ⅰ）证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）构造DM⊥CD，则以DM为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，欲证直线EE₁∥平面FCC₁，只需证明垂直于平面FCC₁的法向量即可．其中的坐标由点E、E₁的坐标易得，而平面FCC₁的法向量需设出后根据其与、垂直得到．
（Ⅱ）在（Ⅰ）所建立的空间直角坐标系中，平面FCC₁的法向量已求得，而平面BFC₁的法向量可设出后由其与、垂直得到，此时求出两法向量的夹角余弦值，则易得二面角B-FC₁-C的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形，
因为ABCD为等腰梯形，所以∠BAD=∠ABC=60°，
取AF的中点M，并连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD，
以DM为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（，-1，0），F（，1，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），E（，，0），E₁（，-1，1），
所以，
，，
设平面CC₁F的法向量为
则所以
取，
则，
所以，所以直线EE₁∥平面FCC₁．

（Ⅱ）解：，
设平面BFC₁的法向量为，
则所以，
取，
则，，
，
所以，
由图可知二面角B-FC₁-C为锐角，所以二面角B-FC₁-C的余弦值为．
点评：本题主要考查向量法解决空间问题．