Question

设函数.

（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；

（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

②证明：不等式

Answer 1

（1）由已知得：，且函数在处有极值

∴，即      ∴

∴

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴函数的最大值为

（2）①由已知得：

(i)若，则时，

∴在上为减函数，

∴在上恒成立；

(ii)若，则时，

∴在上为增函数，

∴，不能使在上恒成立；

(iii)若，则时，，

当时，，∴在上为增函数，

此时，

∴不能使在上恒成立；

综上所述，的取值范围是

②由以上得：

取得：

令，

则，.

因此.

又

故