Question

（本题满分16分）

已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，

且四边形是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点．证明：为定值；

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）如图，由题意得，.

，.

所求的椭圆方程为.                         ………4分

（2）由（1）知，（，0），（2，0）.                …………………5分

由题意可设：，（，）.

   ，（2，）.                        ……………6分

  由 整理得:.

  ，  .         ……8分

，

.           …………………9分

  .     …………10分

  即为定值.

（3）设，则.

若以为直径的圆恒过，的交点，则，

恒成立.                                   ………… 11分

由（2）可知，

.      ………………………………13分

，即恒成立.

.

存在使得以为直径的圆恒过直线，的交点.  …………16分