Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=，
其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）证明：当λ≠18时，数列 {b_n} 是等比数列；
（3）设S_n为数列 {b_n} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，由题意知（ ）²=² ，矛盾．所以{a_n}不是等比数列．
（2）由题设条件知b₁=-（λ+18）≠0．b_n≠0，∴，故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，为公比的等比数列．
（3）由题设条件得 ，，由此入手能够推出存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．
解答：解：（1）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，（2分）
即（）²=2，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．（4分）
（2）解：因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）
=-（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-b_n（7分）
当λ≠-18时，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，∴（n∈N⁺）．（8分）
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列（9分）
（3）当λ=-18时，b_n=0，从而S_n=0．成立．（10分）
当λ≠-18时，由（Ⅱ）得，于是，（12分）
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12．
即．
令
当n为正奇数时，
当n为正偶数时，，∴．（16分）
于是可得．
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．（18分）
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．对于证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．