题目内容

已知数列{an}和{bn}满足a1=m,an+1an+n,bn=an-
2n
3
+
4
9

(1)当m=1时,求证:对于任意的实数λ,{an}一定不是等差数列;
(2)当λ=-
1
2
时,试判断{bn}是否为等比数列.
分析:(1)要证明{an}不是等差数列,只须证明a1+a3≠2a2,利用反证法即可完成;
(2)要判断{bn}是否为等比数列,只须紧扣等比数列的定义,证明bn+1:bn=同一个常数,注意对b1≠0的讨论.
解答:解:(1)当m=1时,a1=1.a2=λ+1,a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2
假设{an}是等差数列,由a1+a3=2a2
得λ2+λ+3=2(λ+1),
即λ2-λ+1=0,
∴△=-3<0,
∴方程无实根.
故对于任意的实数λ,{an}一定不是等差数列.
(2)当λ=-
1
2
时,an+1=-
1
2
an+n,bn=an-
2n
3
+
4
9
bn+1=an+1-
2(n+1)
3
+
4
9
=(-
1
2
an+n)-
2(n+1)
3
+
4
9
=-
1
2
an+
n
3
-
2
9

=-
1
2
(an-
2n
3
+
4
9
)=-
1
2
bn
b1=m-
2
3
+
4
9
=m-
2
9

当m≠
2
9
时,{bn}是以m-
2
9
为首项,-
1
2
为公比的等比数列

当m=
2
9
时,{bn}不是等比数列
点评:判断一个数列是等差数列或等比数列的常规方法是根据定义判断,而判断一个数列不是等差数列或等比数列,则只须证明其中的前三项构不成等差或等比关系即可.
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