题目内容
(2011•孝感模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1=1且bn=1-2an,bn+1=
.
(I)证明:数列{
}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
对任意正整数n都成立的最大实数k.
bn | ||
1-4
|
(I)证明:数列{
1 |
an |
(Ⅱ)求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
|
分析:(I)由题设知(1+2an)(1-2an+1)=1,故an-an+1=2an•an+1,
-
=2,由此能够证明数列{
}是以
=1为首项,以2为公差的等差数列,并能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)由bn=
,知b2b3…bnbn+1=
,故1+an=1+
=
,则k≤
,由此能求出满足条件的最大实数k的值.
1 |
an+1 |
1 |
an |
1 |
an |
1 |
a1 |
(Ⅱ)由bn=
2n-3 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n-1 |
2n |
2n-1 |
2×
| ||||||
|
解答:(I)证明:∵数列{an}和{bn}满足a1=1,
且bn=1-2an,bn+1=
,
∴(1+2an)(1-2an+1)=1,
∴an-an+1=2an•an+1,
∴
-
=2,
∴数列{
}是以
=1为首项,以2为公差的等差数列,
∴
=1+2(n-1)=2n-1,
∴an=
.
(Ⅱ)解:由(I)得bn=
,
b2b3…bnbn+1=
,
1+an=1+
=
,
则k≤
,
记f(n)=
,
则
=
>1,
∴数列{f(n)}是递增数列,
要使原不等式对任意正整数n都成立,只要k≤f(1),
即k≤
,
∴满足条件的最大实数k为
.
且bn=1-2an,bn+1=
bn | ||
1-4
|
∴(1+2an)(1-2an+1)=1,
∴an-an+1=2an•an+1,
∴
1 |
an+1 |
1 |
an |
∴数列{
1 |
an |
1 |
a1 |
∴
1 |
an |
∴an=
1 |
2n-1 |
(Ⅱ)解:由(I)得bn=
2n-3 |
2n-1 |
b2b3…bnbn+1=
1 |
2n+1 |
1+an=1+
1 |
2n-1 |
2n |
2n-1 |
则k≤
2×
| ||||||
|
记f(n)=
2×
| ||||||
|
则
f(n+1) |
f(n) |
2n+2 | ||
|
∴数列{f(n)}是递增数列,
要使原不等式对任意正整数n都成立,只要k≤f(1),
即k≤
2 |
3 |
3 |
∴满足条件的最大实数k为
2 |
3 |
3 |
点评:本题考查数列与不等式的综合,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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