题目内容

(2011•孝感模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1=1且bn=1-2anbn+1=
bn
1-4 
a
2
n

(I)证明:数列{
1
an
}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3bnbn+1 
对任意正整数n都成立的最大实数k.
分析:(I)由题设知(1+2an)(1-2an+1)=1,故an-an+1=2an•an+1
1
an+1
-
1
an
=2
,由此能够证明数列{
1
an
}
是以
1
a1
=1为首项,以2为公差的等差数列,并能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)由bn=
2n-3
2n-1
,知b2b3bnbn+1=
1
2n+1
,故1+an=1+
1
2n-1
=
2n
2n-1
,则k
4
3
×
6
5
×…×
2n
2n-1
 
2n+1
,由此能求出满足条件的最大实数k的值.
解答:(I)证明:∵数列{an}和{bn}满足a1=1,
bn=1-2anbn+1=
bn
1-4 
a
2
n

∴(1+2an)(1-2an+1)=1,
∴an-an+1=2an•an+1
1
an+1
-
1
an
=2

∴数列{
1
an
}
是以
1
a1
=1为首项,以2为公差的等差数列,
1
an
=1+2(n-1)=2n-1,
an=
1
2n-1

(Ⅱ)解:由(I)得bn=
2n-3
2n-1

b2b3bnbn+1=
1
2n+1

1+an=1+
1
2n-1
=
2n
2n-1

则k
4
3
×
6
5
×…×
2n
2n-1
 
2n+1

记f(n)=
4
3
×
6
5
×…×
2n
2n-1
2n+1

f(n+1)
f(n)
=
2n+2
(2n+1)(2n+2)
>1

∴数列{f(n)}是递增数列,
要使原不等式对任意正整数n都成立,只要k≤f(1),
k≤
2
3
3

∴满足条件的最大实数k为
2
3
3
点评:本题考查数列与不等式的综合,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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