Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
解答：解：（1）当t=4时，
F（x）=g（x）-f（x）=log_a，x∈[1，2]，
令h（x）==4，x∈[1，2]，
设u=x+，x∈[1，2]作出u（x）的图象可知
u（x）=x+在[1，2]上为单调增函数．
∴h（x）在[1，2]上是单调增函数，
∴h（x）_min=16，h（x）_max=18．
当0＜a＜1时，有F（x）_min=log_a18，
令log_a18=2，求得a=3＞1（舍去）；
当a＞1时，有F（x）_min=log_a16，
令log_a16=2，求得a=4＞1．∴a=4．
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，
即当0＜a＜1，x∈[1，2]时，
log_ax≥2log_a（2x+t-2）恒成立，
由log_ax≥2log_a（2x+t-2）可得
log_a≥log_a（2x+t-2），
∴≤2x+t-2，∴t≥-2x++2．
设u（x）=-2x++2=-2（）²++2=-2²+，
∵x∈[1，2]，∴∈[1，]．
∴u（x）_max=u（1）=1．
∴实数t的取值范围为t≥1．
点评：1、本题考查了利用函数的单调性求最值的知识，特别是与分类讨论相贯穿使此题更显综合；
2、第二问考查了恒成立问题，要注意学习由已知向对数不等式转化的能力，由对数不等式向二次不等式转化的能力．同时本题当中体现的游离参数思想亦值得学习．