Question

（本小题12分）如图，一只船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行．
（I）若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险？
（II）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？

Answer 1

（I）该船自向东航行会有触礁危险．
（II）时，该船没有触礁危险．

解：（Ⅰ）作，垂足为，
由已知，，所以，
所以，，
所以，
所以该船有触礁的危险．
设该船自向东航行至点有触礁危险，
则，
在△中，，，
，，
所以，（）．
所以，该船自向东航行会有触礁危险．
（Ⅱ）设，在△中，由正弦定理得，，
即，，）
而，
所以，当，即，
即时，该船没有触礁危险．