Question

【题目】数列是各项均为正数的等比数列，设．

（1）数列是否为等比数列？证明你的结论；

（2）设数列的前项和分别为．若，求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）为等比数列．见解析（2）

【解析】

（1）设的公比为，的公比为，根据进而可得，化简得，进而可证明为等比数列；

（2）根据数列，是各项均为正数的等比数列，利用等比数列的通项公式求出和，根据对数运算得出和，根据等差数列的性质可证明数列，为等差数列，利用等差数列前项和公式求得和，代入，可求得，和，代入，即可得到数列的通项公式.

解：（1）由题可知，是各项均为正数的等比数列，，

设的公比为的公比为，

则，

故为等比数列.

（2）由于，是各项均为正数的等比数列，

设的公比为的公比为，

则，

所以，

，

则数列和分别是公差为和的等差数列，

由于的前n项和分别为，

则，，

而，

则，即，

即，

于是，①

将代入①式，解方程组，得，

所以，，

从而有.