Question

已知

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，且cos（α-β）=

12

13

sin（α+β）=-

3

5

，求：cos2α的值．

Answer 1

分析：由α与β的范围求出α-β与α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）与cos（α+β）的值，所求式子角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，∴0＜α-β＜

π

2

，π＜α+β＜

3π

2

，
∵cos（α-β）=

12

13

，sin（α+β）=-

3

5

，
∴sin（α-β）=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，cos（α+β）=-

1-(- 3 5 )2

=-

4

5

，
则cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）=

12

13

×（-

4

5

）-（-

3

5

）×

5

13

=-

33

65

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．