Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左，右焦点分别为F₁，F₂，左准线为l，若双曲线的左支上存在一点P，使|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项，则双曲线的离心率不可能是（　　）

• A、

  2

• B、1+

  2

• C、

  3

• D、1+

  3

Answer 1

分析：设左支上存在P点，由双曲线的第二定义知|PF₂|=e|PF₁|，再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a由此推导出e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+

2

与选项D：e=1+

3

矛盾．从而断定在双曲线左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．

解答：解：设在左支上存在P点，使|PF₁|²=|PF₂|•d，由双曲线的第二定义知

|PF1|

d

=

|PF2|

|PF1|

=e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=

2a

e-1

，|PF₂|=

2ae

e-1

，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴

2a

e-1

+

2ae

e-1

≥2c．③
利用e=

c

a

，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-

2

≤e≤1+

2

．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+

2

与选项D：e=1+

3

矛盾．
故选D．

点评：本题是双曲线的综合题，综合利用双曲线的第一定义和第二定义求解，在解题时要注意反证法的运用．