Question

2．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{33}}{7}$，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x²+y²=65．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l₁，l₂，试探究直线l₁，l₂的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l₁，l₂互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y-n=k（x-m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l₁、l₂始终相互垂直．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{33}}{7}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=7，b=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{49}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$；
（2）如图，
①当过点A与椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{49}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$相切的一条切线的斜率不存在时，
此时切线方程为x=±4，
∵点A在圆M：x²+y²=65上，则A（±4，±7），
∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l₁，l₂互相垂直；
②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y-n=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-n=k（x-m）}\\{\frac{{y}^{2}}{49}+\frac{{x}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，
得（49+16k²）x²+32k（n-mk）x+16k²m²-32kmn+16n²-49×16=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=1024k²（n-mk）²-4（49+16k²）（16k²m²-32kmn+16n²-49×16）=0，
整理，得（16-m²）k²+2mnk+49-n²=0，
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{49-{n}^{2}}{16-{m}^{2}}$，
∵P（m，n）在圆x²+y²=65上，∴m²+n²=65，
∴16-m²=n²-49，
∴k₁k₂=-1，则两直线互相垂直．
综上所述，直线l₁、l₂始终相互垂直．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的位置关系的判断，训练了两直线垂直与斜率的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，注意函数与方程思想的合理运用，是中档题．