Question

如图. 直三棱柱ABC —A₁B₁C₁中，A₁B₁= A₁C₁,点D、E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁
（2）直线A₁F∥平面ADE．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析．

试题分析：（1）由面面垂直的判定定理可知：要证两个平面互相垂直，只须证明其中一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可；观察图形及已知条件可知：只须证平面ADE内的直线AD与平面BCC₁B₁垂直即可;而由已知有: AD⊥DE,又在直三棱柱中易知CC₁⊥面ABC,而AD平面ABC， CC₁⊥AD,从而有AD⊥面B CC₁ B₁,所以有平面ADE⊥平面BCC₁B₁；（2）由线面平行的判定定理可知：要证线面平行，只须证明直线与平面内的某一条直线平行即可；不难发现只须证明A₁F∥AD，由（1）知AD⊥面B CC₁ B₁，故只须证明A₁F⊥平面BCC₁B₁，这一点很容易获得．
试题解析：（1）ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，CC₁⊥面ABC，
又AD平面ABC， CC₁⊥AD
又AD⊥DE，CC₁，DE平面B CC₁B₁，CC₁∩DE=E
AD⊥面B CC₁ B₁又AD面ADE
平面ADE⊥平面BCC₁B₁                 6分
（2） A₁B₁＝ A₁C₁，F为B₁C₁的中点，AF⊥B₁C₁
      CC₁⊥面A₁B₁C₁且A,F平面A₁B₁C₁
 CC₁⊥A、F
又CC₁，A,F平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁= C₁
 A₁F⊥平面BCC₁B₁ 由（1）知AD ⊥平面BCC₁B₁
 A₁F∥AD，又AD平面ADE，A₁F平面ADE
 A₁F∥平面ADE                12分