Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC₁=2.
(1)证明：AC₁⊥A₁B;
(2)设直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离为，求二面角A₁-AB-C的大小.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）arctan.

试题分析：（1）利用AC₁⊥平面ABC,可得平面AA₁C₁C⊥平面ABC,在利用平面与平面垂直的性质和已知条件可得BC⊥平面AA₁C₁C，而AC₁⊥A₁C,所以AC₁⊥A₁B.
（2）作A₁E⊥C₁C,E为垂足，则A₁E⊥平面BCC₁B₁,而直线A A₁∥平面BCC₁B₁，A₁E为直线A A₁与平面BCC₁B₁间的距离，则A₁D=A₁E=,然后证明∠A₁FD为二面角A₁-AB­-C的平面角,求出tan∠A₁FD=即可.
试题解析：
解法一：（1）∵A₁D⊥平面ABC, A₁D平面AA₁C₁C,故平面AA₁C₁C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，连结A₁C，因为侧面AA₁C₁C是棱形，所以AC₁⊥A₁C,由三垂线定理的AC₁⊥A₁B.

(2) BC⊥平面AA₁C₁C，BC平面BCC₁B₁,故平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁,
作A₁E⊥C₁C,E为垂足，则A₁E⊥平面BCC₁B₁,又直线A A₁∥平面BCC₁B₁，因而A₁E为直线A A₁与平面BCC₁B₁间的距离，A₁E=，因为A₁C为∠ACC₁的平分线，故A₁D=A₁E=,
作DF⊥AB，F为垂足，连结A₁F,由三垂线定理得A₁F⊥AB，故∠A₁FD为二面角A₁-AB­-C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tan∠A₁FD=,所以二面角A₁-AB­-C的大小为arctan.
解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A₁D与z轴平行，z轴在平面AA₁C₁C内.
（1）设A₁（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0),

，，由得，即，于是①,所以.
（2）设平面BCC₁B₁的法向量，则，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a，，点A到平面BCC₁B₁的距离为，又依题设，点A到平面BCC₁B₁的距离为，所以c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，
设平面ABA₁的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A₁-AB­-C的大小为arccos，