Question

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，面，设为中点，点在线段上且．
（1）求证：平面；
（2）设二面角的大小为，若，求的长．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）2 .

试题分析：（1）由已知条件用余弦定理和勾股定理推导出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．利用向量法能求出BE∥平面ACF．
（2）分别求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的长．
（1）由，得，．
又面，所以以分别为轴建立坐标系如图．
则   2分
设，则 ．
设，得：．
解得：，，，
所以．                                4分
所以,，．
设面的法向量为，则，取．
因为，且面，所以平面．   6分
（2）设面法向量为，因为，，
所以，取 ．             9分
由，得．
，得，∴，所以．      12分