Question

18．已知抛物线y²=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|，$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，则点B到直线AC的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$可知F为△ABC的重心，根据抛物线的性质和重心坐标公式求出A，B，C的坐标，得出AC方程，从而求出B到AC的距离．

解答 解：抛物线方程为y²=4x．准线方程为x=-1．
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，∴F为△ABC的重心．
∴x_A+x_B+x_C=3，y_A+y_B+y_C=0．
∴|FA|+|FB|+|FC|=x_A+1+x_B+1+x_C+1=6．
∵2|FB|=|FA|+|FC|，∴|FB|=2，|FA|+|FC|=2．
∵B在x轴的下方，∴B（1，-2）．∴x_A+x_C=2，y_A+y_C=2．
∵${x}_{A}=\frac{{{y}_{A}}^{2}}{4}$，x_c=$\frac{{{y}_{c}}^{2}}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{y}_{A}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{C}}^{2}}{4}=2}\\{{y}_{A}+{y}_{C}=2}\end{array}\right.$，解得y_A=1+$\sqrt{3}$，y_C=1-$\sqrt{3}$．
∴x_A=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x_c=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴直线AC的方程为：y=2x-1．即2x-y-1=0．
∴B到直线AC的距离d=$\frac{|2+2-1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查了抛物线的性质，三角形重心的性质，点到直线的距离，属于中档题．