Question

19．△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若b+c=5，a=$\sqrt{7}$，求△ABC的面积的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量数量积的运算，三角形面积公式可求tanA=$\sqrt{3}$，结合范围A∈（0，π），可得A的值，
（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求bc=6，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$bccosA，…2分
又∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA，可得：tanA=$\sqrt{3}$，…4分
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：7=b²+c²-bc，…8分
∴可得：（b+c）²-3bc=7，…9分
∴由b+c=5，可得：bc=6，…11分
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形面积公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．