如图.在平面直角坐标系xOy中.已知圆O:x2+y2=4.椭圆C:$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B.C两点.直线AB与圆O的另一交点为P.直线PD与圆O的另一交点为Q.其中$D$．设直线AB.AC的斜率分别为k1.k2．(1)求k1k2的值,(2)记直线PQ.BC的斜率分别为kPQ.kBC.是否存在常数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=4，椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中$D（-\frac{6}{5}，0）$．设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求k₁k₂的值；
（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ=λk_BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
（3）求证：直线AC必过点Q．

分析（1）设B（x₀，y₀），则C（-x₀，-y₀），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；
（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；
（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．

解答解：（1）设B（x₀，y₀），则C（-x₀，-y₀），$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}•\frac{y_0}{{{x_0}+2}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=\frac{{1-\frac{1}{4}{x_0}^2}}{{{x_0}^2-2}}=-\frac{1}{4}$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-2）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$得$（1+k_1^2）{x^2}-4k_1^2x+4（k_1^2-1）=0$，
解得${x_P}=\frac{2（k_1^2-1）}{1+k_1^2}，{y_P}={k_1}（{x_P}-2）=\frac{{-4{k_1}}}{1+k_1^2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-\sqrt{2}）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$（1+4k_1^2）{x^2}-16k_1^2x+4（4k_1^2-1）=0$，
解得${x_B}=\frac{2（4k_1^2-1）}{1+4k_1^2}，{y_B}={k_1}（{x_B}-\sqrt{2}）=\frac{{-4{k_1}}}{1+4k_1^2}$，
所以${k_{BC}}=\frac{y_B}{x_B}=\frac{{-2{k_1}}}{4k_1^2-1}$，${k_{PQ}}=\frac{y_P}{{{x_P}+\frac{6}{5}}}=\frac{{\frac{{-4{k_1}}}{1+k_1^2}}}{{\frac{2（k_1^2-1）}{1+k_1^2}+\frac{6}{5}}}=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}$，
所以${k_{PQ}}=\frac{5}{2}{k_{BC}}$，
故存在常数$λ=\frac{5}{2}$，使得${k_{PQ}}=\frac{5}{2}{k_{BC}}$．
（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，$Q（-\frac{6}{5}，-\frac{8}{5}）$，
则${k_{AQ}}=\frac{{-\frac{8}{5}}}{{-\frac{6}{5}-2}}=\frac{1}{2}={k_2}$，所以直线AC必过点Q．
当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：$y=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}（x+\frac{6}{5}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}（x+\frac{6}{5}）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，
解得${x_Q}=\frac{-2（16k_1^2-1）}{16k_1^2+1}，{y_Q}=\frac{{16{k_1}}}{16k_1^2+1}$，
所以${k_{AQ}}=\frac{{\frac{{16{k_1}}}{16k_1^2+1}}}{{\frac{-2（16k_1^2-1）}{16k_1^2+1}-2}}=-\frac{1}{{4{k_1}}}={k_2}$，
故直线AC必过点Q．