题目内容
16．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中$D（-\frac{6}{5}，0）$．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；
（2）记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ=λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
（3）求证：直线AC必过点Q．
分析 （1）设B（x0，y0），则C（-x0，-y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；
（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；
（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．
解答 解：（1）设B（x0，y0），则C（-x0，-y0），$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}•\frac{y_0}{{{x_0}+2}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=\frac{{1-\frac{1}{4}{x_0}^2}}{{{x_0}^2-2}}=-\frac{1}{4}$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-2）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$得$（1+k_1^2）{x^2}-4k_1^2x+4（k_1^2-1）=0$，
解得${x_P}=\frac{2（k_1^2-1）}{1+k_1^2}，{y_P}={k_1}（{x_P}-2）=\frac{{-4{k_1}}}{1+k_1^2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-\sqrt{2}）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$（1+4k_1^2）{x^2}-16k_1^2x+4（4k_1^2-1）=0$，
解得${x_B}=\frac{2（4k_1^2-1）}{1+4k_1^2}，{y_B}={k_1}（{x_B}-\sqrt{2}）=\frac{{-4{k_1}}}{1+4k_1^2}$，
所以${k_{BC}}=\frac{y_B}{x_B}=\frac{{-2{k_1}}}{4k_1^2-1}$，${k_{PQ}}=\frac{y_P}{{{x_P}+\frac{6}{5}}}=\frac{{\frac{{-4{k_1}}}{1+k_1^2}}}{{\frac{2（k_1^2-1）}{1+k_1^2}+\frac{6}{5}}}=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}$，
所以${k_{PQ}}=\frac{5}{2}{k_{BC}}$，
故存在常数$λ=\frac{5}{2}$，使得${k_{PQ}}=\frac{5}{2}{k_{BC}}$．
（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，$Q（-\frac{6}{5}，-\frac{8}{5}）$，
则${k_{AQ}}=\frac{{-\frac{8}{5}}}{{-\frac{6}{5}-2}}=\frac{1}{2}={k_2}$，所以直线AC必过点Q．
当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：$y=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}（x+\frac{6}{5}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}（x+\frac{6}{5}）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，
解得${x_Q}=\frac{-2（16k_1^2-1）}{16k_1^2+1}，{y_Q}=\frac{{16{k_1}}}{16k_1^2+1}$，
所以${k_{AQ}}=\frac{{\frac{{16{k_1}}}{16k_1^2+1}}}{{\frac{-2（16k_1^2-1）}{16k_1^2+1}-2}}=-\frac{1}{{4{k_1}}}={k_2}$，
故直线AC必过点Q．
点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查直线的斜率和方程的运用，就化简整理的运算能力，属于中档题．
| A． | {-1，0，1} | B． | {-1，1} | C． | {-1，1，2} | D． | {1，0} |
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，已知AB=1，${A}{{A}_1}=\sqrt{3}$，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（ ）| A． | $2\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{10}$ | C． | $\sqrt{5}+1$ | D． | $2+\sqrt{2}$ |
某市气象部门对该市中心城区近4年春节期间（每年均统计春节假期的前7天）的空气污染指数进行了统计分析，且按是否燃放鞭炮分成两组，得到如图的茎叶图，根据国家最新标准，空气污染指数不超过100的表示没有雾霾，超过100的表示有雾霾．（Ⅰ）若从茎叶图有雾霾的14天中随机抽取2天，用随机变量ξ表示被抽中且未燃放鞭炮的天数，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过茎叶图填写下面的2×2列联表，并判断有多大的把握可以认为燃放鞭炮与产生雾霾有关？
| 燃放 | 未燃放 | 合计 | |
| 有雾霾 | |||
| 无雾霾 | |||
| 合计 |
独立性检验临界值表：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| x | 16 | 17 | 18 | 19 |
| y | 50 | 34 | 41 | 31 |
| A． | 26个 | B． | 27个 | C． | 28个 | D． | 29个 |