题目内容
11．已知$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=2$，$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•\overrightarrow b=3$，$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．分析 求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$，代入向量的夹角公式计算．
解答 解：∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=3，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1．
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2．（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）2=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=7，
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$．
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案：$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中$D（-\frac{6}{5}，0）$．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．
如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上非顶点的两点，且△OMN的面积等于$\sqrt{2}$．