Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴与短轴之和为2

2

+2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x+2y+

5

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

2a+2b=2 2 +2 b= |5| 1+4

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设AB的方程为：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知条件能求出实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴与短轴之和为2

2

+2，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x+2y+

5

=0相切，
∴

2a+2b=2 2 +2 b= |5| 1+4

，解得a=

2

，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由题意知直线l的斜率存在，
设AB的方程为：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
△=64k⁴+4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，
y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵点P在椭圆上，
∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2•

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²），∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，∴|

AB

|＜

2 5

3

，
∴

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂}＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴k2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，∵16k²=t²（1+2k²），
∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，t2∈(

8

3

，4)，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，
∴实数t的取值范围为（-2，-

2 6

3

）∪（

2 6

3

，2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用．