Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-1，0），直角顶点B(0，-

3

)，顶点C在x轴上．
（1）求△ABC的外接圆M的方程；
（2）设直线?：y=

m2+1

m

x+

m2+1

m

，(m∈R，m≠0)，直线?能否与圆M相交？为什么？若能相交，直线?能否将圆M分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧？为什么？

Answer 1

分析：（1）由A和B的坐标求出直线AB方程的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由AB与BC垂直，求出直线BC的斜率，由B的坐标和求出的斜率写出直线BC的方程，令y=0求出x的值，确定出点C的坐标，求出斜边AC的长即为外接圆的直径，除以2可得圆的半径，利用中点坐标公式求出A和C的中点坐标即为外接圆的圆心M的坐标，由求出的圆心M的坐标和半径写出三角形ABC的外接圆M的方程即可；
（2）把直线l的方程变形可得直线l恒过点A（-1，0），而A在圆周上，故存在直线l可能与圆相交；由基本不等式求出|k|的最小值，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，根据|k|的最小值得出d的最小值，发现d的最小值大于半径的一半，从而圆M截直线l所得的弦所对的圆心角小于

2π

3

，故直线l不能将圆M分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧．

解答：解：（1）K_AB=

- 3 -0

0-(-1)

=-

3

，∴K_BC=

3

3

，
直线BC的方程是y+

3

=

3

3

x，，当y=0，得x=3，即点C（3，0），
所以，△ABC的外接圆M的圆心M（1，0），半径r=2．
圆M的方程是（x-1）²+y²=4；

（2）直线l的方程可化为y=

m2+1

m

（x+1），令k=

m2+1

m

，
则l的方程为y=k（x+1），则直线l恒过圆M上的定点A（-1，0），
则直线l可能与圆相交．
因为|m|≤

1

2

（m²+1），所以|k|=

m2+1

|m|

≥2，，当且仅当|m|=1时等号成立．
圆心M（1，0）到直线l的距离d=

2|k|

1+k2

．（9分）
由|k|≥2，d=

2|k|

1+k2

=

2

1+ 1 k2

≥

4

5

，即d＞

r

2

．
从而圆M截直线l所得的弦所对的圆心角小于

2π

3

．
所以直线l不能将圆M分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧．（12分）

点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有两直线垂直时斜率满足的关系，中点坐标公式，直线与坐标轴的交点，恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及基本不等式应用，直线与圆相交时，常常利用弦心距，弦的一半以及圆的半径构造直角三角形来解决问题．