题目内容

已知函数f（x）=cos²x+2tsinxcosx-sin²x，
（1）当t=1时，若 $数学公式$ ，试求sin2α；
（2）若函数f（x）在区间 $数学公式$ 上是增函数，求实数t的取值范围．

解：（1）当t=1时，函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x，…（3分）．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
两边同时平方，并整理得： $\text{[math]}$ ，…（5分）
由此可得 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）化简函数，得f（x）=cos2x+tsin2x
∴f'（x）=-2sin2x+2tcos2x
函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数，
等价于不等式f'（x）≥0在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，
即f'（x）=-2sin2x+2tcos2x≥0在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，…（9分）
∵2x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]为锐角，cos2x是正数，∴t≥tan2x在在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，
而函数y=tan2x在区间上的最大值为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
∴实数t的取值范围是[ $\text{[math]}$ ）．…（12分）．
分析：（1）当t=1时，化简函数得f（x）=cos2x+sin2x，从而 $\text{[math]}$ ，将其两边平方，结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系，可得sin2α的值；
（2）化简函数得f（x）=cos2x+tsin2x，从而得到f'（x）=-2sin2x+2tcos2x．由函数单调性与导数关系，得f'（x）≥0在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，注意到cos2x＞0，将不等式变量分离并讨论tan2x的最值，即可得到实数t的取值范围．
点评：本题给出三角函数表达式，讨论函数的单调性并求参数取值范围，着重考查了二倍角的正弦、同角三角函数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．