Question

已知函数f(x)=ln(1+x)－.
(1)求f(x)的极小值;   (2)若a、b>0,求证:lna－lnb≥1－.

Answer 1

(1) 0.  (2) f(x)≥f(0)=0,从而ln(1+x)≥在x>－1时恒成立.令1+x=>0,则=1－=1－,于是lna－lnb=ln≥1－,即lna－lnb≥1－在a>0,b>0时成立.

试题分析：(1) f(x)=ln(1+x)－,求导数得
f′(x)=,而f(x)的定义域x>－1,在x>0时,f′(x)>0;在－1<x<0时,f′(x)<0.
∴在x=0时,f(x)取得极小值f(0)=0.                                        6分
(2)证明:在x=0时,f(x)取得极小值,而且是最小值,于是f(x)≥f(0)=0,从而ln(1+x)≥在x>－1时恒成立.
令1+x=>0,则=1－=1－,
于是lna－lnb=ln≥1－,
因此lna－lnb≥1－在a>0,b>0时成立.                                   12分
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点．