Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是    （写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c²，则C＜
②若a+b＞2c，则C＜
③若a³+b³=c³，则C＜
④若（a+b）c=2ab，则C＞
⑤若（a²+b²）c²=2a²b²，则C＞．

Answer 1

【答案】分析：①利用余弦定理，将c²放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；②利用余弦定理，将c²放大为（）²，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形
解答：解：①ab＞c²⇒cosC=＞=⇒C＜，故①正确；
②a+b＞2c⇒cosC=＞≥=⇒C＜，故②正确；
③当C≥时，c²≥a²+b²⇒c³≥ca²+cb²＞a³+b³与a³+b³=c³矛盾，故③正确；
④取a=b=c=2，满足（a+b）c=2ab得：C=＜，故④错误；
⑤取a=b=c=，满足（a²+b²）c²=2a²b²，此时有C=，故⑤错误
故答案为①②③
点评：本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题