题目内容

已知数列{an}满足：a1=2，an+1=2(1+
1
n
)2an(n∈N*)
（1）求证：数列{
an
n2
}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）设cn=
n
an
，Tn是数列{cn}，Tn是数列{cn}的前n项的和，求证：Tn＜
7
24
．
分析：（1）把给出的递推式变形得到新数列{
an
n2
}为等比数列，由等比数列的通项公式写出
an
n2
，则an可求；
（2）把an代入cn=
n
an
，写出Tn后取n=n-1再写一个式子，然后利用错位相减法，把得到的Tn的表达式的部分项去掉进行放大，则结论得证．
解答：证明（1）由题设an+1=2(1+
1
n
)2an=2
(n+1)2
n2
an，
得：
an+1
(n+1)2
=2•
an
n2
，所以数列{
an
n2
}是以
a1
12
=
2
1
=2为首项，以2为公比的等比数列．
所以，
an
n2
=2•2n-1=2n，即an=n2•2n；
（2）法一：∵cn=
n
an
=
n
n2•2n
=
1
n•2n

∴Tn=c1+c2+…+cn
=
1
1•2
+
1
2•22
+
1
3•23
+…+
1
n•2n
①．
则2Tn=
1
1
+
1
2•2
+
1
3•22
+…+
1
(n-1)•2n-2
+
1
2•2n-1
②．
②-①得：Tn=1-[
1
2
(1-
1
2
)+
1
22
(
1
2
-
1
3
)+
1
23
(
1
3
-
1
4
)+…+
1
2n-1
(
1
n-1
-
1
n
)+
1
n•2n
]
＜1-[
1
2
(1-
1
2
)+
1
22
(
1
2
-
1
3
)]=1-
1
4
-
1
24
=
17
24
．
解法二：由T1=c1=
1
2
＜
17
24
，T2=c1+c2=
1
2
+
1
2×22
=
5
8
＜
17
24
．
而当n≥3时，cn=
1
n•2n
≤
1
3
•
1
2n
，
∴Tn=
1
1•2
+
1
2•22
+
1
3•23
+…+
1
n•2n

≤
1
2
+
1
2•22
+
1
3
(
1
23
+
1
24
+…+
1
2n
)=
1
2
+
1
8
+
1
3
•
1
23
(1-
1
2n-2
)
1-
1
2

=
1
2
+
1
8
+
1
3
•
1
22
(1-
1
2n-2
)＜
1
2
+
1
8
+
1
12
=
17
24
．
点评：本题考查了通过数列递推式确定等比关系，考查了不等式的证明，恰当的放缩是证明该题的关键，该题属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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